Ellenberg’in Nasıl Hata Yapmazsınız: Matematiksel Düşünmenin Gücü Üzerine Derinlemesine İnceleme
Ellenberg’in Nasıl Hata Yapmazsınız: Matematiksel Düşünmenin Gücü Üzerine Derinlemesine İnceleme
Giriş
Jordan Ellenberg’in Nasıl Hata Yapmazsınız: Matematiksel Düşüncenin Gücü (How Not to Be Wrong: The Power of Mathematical Thinking) adlı eseri, matematiksel akıl yürütmenin günlük hayattaki önemine odaklanan popüler bir matematik kitabıdır. Ellenberg, matematiği “sağduyunun diğer araçlarla genişletilmiş hali” olarak tanımlar ve Nasıl Hata Yapmazsınız’ta bu bakış açısıyla ele alınan temel kavramları okura sunar. Kitabın alt başlığı da bunu vurgular: “Matematiksel Düşünmenin Gücü”. Bu çerçevede eser, okurlara verileri doğru yorumlama, istatistiği anlamlı kullanma ve olasılık düşüncesini geliştirme yollarını göstererek, yanılgılardan kaçınmanın yolunu öğretir. Özellikle istatistiksel akıl yürütme, olasılık teorisi, regresyon kavramı, matematiksel yanılgılar ve sezgisel hatalar ile matematiğin gündelik yaşamdaki rolü gibi ana temalara yoğunlaşır. Yazımızda Ellenberg’in kitabındaki bu temel temalar hem matematiksel hem de felsefi/bilişsel açılardan irdelenecek, gerektiğinde dış akademik kaynaklara atıf yapılarak derinlemesine ele alınacaktır.
Kuramsal Çerçeve
Matematiksel düşünmenin ana fikri, formel araçları ve mantığı kullanarak problemleri en doğru şekilde analiz etmektir. Bu bağlamda Nasıl Hata Yapmazsınız’ta ele alınan konular, matematiği sezgisel aklın ötesine taşıyan kavramlardır. Örneğin Ellenberg, matematiği “sağduyunun diğer araçlarla genişletilmiş hali” olarak tanımlayarak, matematiğin karmaşık sorunları daha net algılamaya yarayan bir araç olduğunu vurgular. Bu anlayış, matematiği soyut bir teori olmaktan çıkarıp günlük hayatın sorunlarına tatbik edilebilir bir şeye dönüştürür. Aynı zamanda bu felsefi tutum, matematiksel modellerin ve mantığın güvenilirliğini savunur.
Kuramsal çerçevede, önce insan aklının doğasından ve hatalarından söz etmek önemlidir. Psikoloji literatüründe bilişsel önyargılar olarak adlandırılan cognitive biases, yargı süreçlerinde norm veya rasyonellikten sistematik sapmalar gösterir ve akıl yürütmede hatalara yol açar NumberAnalytics’e göre, matematiksel problem çözmede bilişsel önyargılar “muhakemedeki akıl yürütmenin norm ve rasyonellikten sistematik sapmaları”dır ve hatalı çözümlere neden olabilir. Ellenberg’in kitabı da bu içsel tuzakları tanıtmakla başlar; örneğin onaylama yanılgısı, sabitleşme (anchoring), uygunluk yanlılığı (availability heuristic) gibi sezgisel kestirimlerin yanlış sonuçlar doğurabileceğini gösterir. Kahneman ve Tversky gibi araştırmacıların ortaya koyduğu üzere sezgisel akıl yürütme (Sistem 1) hızlı ve otomatik kararlar verirken, istatistiksel olarak doğru çözümleme (Sistem 2) daha yavaştır ve dikkat ister. Kuramsal olarak matematik, karmaşık problemleri çözerken geleneksel sezgi yerine bu sistematik akıl yürütmeyi ön plana çıkarır.
İstatistiksel akıl yürütme de bu kuramsal çerçevenin bir parçasıdır. İstatistiksel düşünce, verileri yorumlarken örnek büyüklüğü (sample size), temel olasılık (base rate) gibi faktörleri doğru hesaba katmayı gerektirir. Ancak Nisbett ve arkadaşlarının belirttiği gibi, insanlar günlük hayatta genellikle bu istatistikî ilkeleri yanlış veya eksik uygular. Örneğin Kahneman ve Tversky’nin çalışmaları, insanların sonuç örnekleminin boyutunu, değişkenler arasındaki korelasyonu veya temel frekansları görmezden gelme eğiliminde olduğunu göstermiştir. Bunlar, sezgisel aklın sonucu olan önyargılardır. Nisbett ve arkadaşları, “insanların kullandıkları sezgisel yöntemlerin gerekli istatistik ilkelerine uymadığını” ve “örneklem büyüklüğü, korelasyon veya temek oran (base rate) gibi değişkenlerin genellikle göz ardı edildiğini” vurgular. Bu nedenle, kuramsal olarak matematik ve istatistik, akıl yürütmedeki bu eksiklikleri tamamlamaya, normatif standartlar sunmaya çalışır.
Olasılık teorisi kuramsal çerçevede ayrıca yerini alır. Olasılığa dayalı düşünme, belirsizlik altında karar vermeyi modelleyen bir matematik dalıdır. Filozofik olarak bakıldığında, olasılık bilgisi “risk” ve “belirsizlik” kavramlarını düzenleyen bir norm sistemi sunar. İnsanların çoğu, monty hall problemi veya kumarbaz yanılgısında olduğu gibi, rastgele olayların doğasını yanlış anlar. Örneğin kumarbaz yanılgısı, geçmiş bağımsız olayların gelecekteki olasılığı etkileyeceğine dair hatalı bir inançtır. Investopedia’da belirtildiği üzere bu yanılgı, “rassal bir olayın, önceki bir olay veya olaylar dizisinin sonucuna dayalı olarak daha az veya daha çok olası olduğuna dair hatalı bir inanç”tır. Bu yanılgı, olasılığın bağıl ve istatistiksel doğasını kavrayamamaktan kaynaklanır. Kuramsal çerçevede olasılık, bu tür yanılgılarla mücadele için gerekli prensipleri (Baes kuralı, bağımsızlık ilkesi vb.) sunar.
Son olarak regresyon kavramı ele alınmalıdır. Regresyon, istatistiksel olarak beklenen ortalamaya doğru dönüş eğilimini ifade eder. Örneğin bir sporcunun olağanüstü bir performansı, büyük ölçüde rastlantı içerdiği için sonraki yarışta ortalamaya yakın bir performans ortaya çıkarabilir. Scribbr’ın tanımına göre, “ortalamanın çok üzerindeki veya altındaki değerler ikinci ölçümde genellikle ortalamaya daha yakın değerlere doğru hareket eder” ve bu olgu “doğal değişim veya şans nedeniyle” oluşur. Filozofik açıdan bu, insanları yanlışlıkla neden-sonuç ilişkisi kurmaktan alıkoyar; beklenmedik başarı veya başarısızlık, çoğu zaman altta yatan değişkenlerdeki gerçek değişimden ziyade rastlantısal sapmadan kaynaklanır. Regresyon olgusu ele alınırken, korelasyon ve nedensellik ayrımı da değerlendirilir; korelasyonun nedenselliği göstermeyeceği gerçeği, hem matematiksel hem epistemolojik olarak vurgulanır.
Ana Tartışma
İstatistiksel Akıl Yürütme ve Olasılık
Ellenberg’in kitabının temel bölümlerinden biri “İnfêrans” (Inference) başlığı altında istatistiksel akıl yürütmeyle ilgilidir. Burada popüler “doğrular, yalanlar ve istatistik” vurgulanır. Dolaylı olarak bu, istatistikî bilgilerin nasıl çarpıtılabileceği veya yanlış yorumlanabileceğiyle ilgilidir. Biraz mizahi örneklerle de olsa, Ellenberg istatistiğin sınırlılıklarına dikkat çeker. İstatistiksel akıl yürütme, örnekleme sapması, seçici haber yayınları, grafik manipülasyonları gibi tuzaklara açık olabilir. Statoloji gibi kaynaklarda, yaygın olasılık yanılgılarından (örn. kumarbaz yanılgısı, bağımlı olay yanlış yorumu) söz edilir; özellikle kumarbaz yanılgısı, ardışık bağımsız sonuçların geleceği etkileyeceği inancına dayanan meşhur bir hatadır. Ellenberg de benzer örneklerle okuyucuyu uyarır: Geçmişte uzun süre art arda yazı gelen bir madeni para atışının bir sonraki atışı yazı olarak sonuçlanma olasılığının artacağına dair inanış (kumarbaz yanılgısı) yanlıştır. Her bir atış bağımsızdır ve olasılık sabittir.
Ellenberg’in “Expectation” bölümünde beklenen değer (expected value) kavramı ele alınır. Beklenen değer, olasılık dağılımlarının ağırlıklı ortalamasıdır ve karar verirken tutarlı bir öngörü sağlar. Ancak insanlar çoğunlukla beklenen değeri sezgisel olarak hatalı algılar. Örneğin şansa dayalı bir oyunda tek bir yüksek ödemli sonuç (örneğin piyangoda büyük ikramiye) olasılığı çok düşük iken, insanlar sıklıkla o şansa inanırlar. Bu durum, matematiksel olarak beklenen değerin eşit olduğu hatta daha iyi olduğu diğer seçeneklerin gözden kaçmasına neden olur. Bu tür sezgisel çarpıtmalar, Ellenberg’in anlattığı “tavuk-altın yumurtlayan yumurta” örneğine benzer şekilde gündelik hayatta karşımıza çıkar. Ayrıca medyanın veya reklamların sunduğu yüzeysel istatistiklere kanmak, beklenen değerin hakkını vermeyi engeller. İstatistiksel akıl yürütmede temel kural, örnek büyüklüğü, değişken dağılımı ve şans faktörünü hesaba katmaktır. Kuramsal olarak bu, Bayes teoremi gibi araçlarla da desteklenir. Bayesyen düşünce biçimi, prior (ön) bilgileri ve yeni verileri birleştirerek olasılık güncellemeyi sağlar ve daha sağlam kararlar verir. Ellenberg de, Nasıl Hata Yapmazsınız’ta Bayes teoremine benzer şekilde gözlemleri güncellemenin önemini vurgular; bu, felsefi açıdan da akılcı bir inanç güncelleme ilkesidir.
Regresyon ve Korelasyon
Kitabın “Regresyon” başlıklı bölümü, korelasyon, nedensellik ve ortalamaya regresyon kavramlarına odaklanır. Günlük hayatta rastladığımız “büyüme sonrası düşüş” fenomeni bu bölümde detaylandırılır. Scribbr’ın açıkladığı üzere, sıra dışı yüksek veya düşük bir değeri takiben yeni ölçüm genellikle ortalamaya yaklaşır. Örneğin, sporcuların anormal bir performanstan sonra ortalamaya yakın performans sergilemesi gibi. Bu durum akademik başarı, iş performansı veya hatta bitki büyümesi gibi pek çok alanda görülür. Önemli husus, bu gerileme veya yükselmenin rastlantısal olduğu ve otomatik bir yasal etki olduğu, dolayısıyla başarının kaynağına dair yanlış çıkarımlar yapılmaması gerektiğidir. Scribbr’ın örneği, Sports Illustrated kapağına çıkan sporcuların ertesi maçta kötü performans sergilediği efsanesini gösterir. Bu efsane, yalnızca regresyonun bir sonucudur; olağanüstü bir performansın arkasındaki şans faktörü ortadan kalktığında, sonraki performans daha ortalama seviyeye döner. Bu tür örnekler, insanları sanki rastlantı dışında bir etki varmış gibi yanıltabilir.
Ellenberg, bu konuda istatistiksel analizlerin önemini vurgular. Araştırmalarda regresyon etkisi göz ardı edilirse, yanlışça bir müdahalenin etkili olduğu sonucuna varılabilir. Scribbr’ın uyarısına göre, özellikle uç örnekleri seçip üzerinde çalışırken regresyonu dikkate almak şarttır; aksi takdirde yapılan değişikliğin etkisi yerine doğal sapmanın sonucu interpret edilebilir. Dolayısıyla regreseyon, korelasyon ve nedensellik arasındaki farkı anlamak açısından kritiktir. Ellenberg de “Regresyon” bölümünde zorluk çıkarabilecek örnekler verir; yanlış yorumlanan korelasyonların arkasında genellikle gerçek bir neden yoktur. Bu bakımdan, matematiksel düşünce korelasyona hemen neden-demce demekten kaçınır. Felsefi açıdan, bu durum nedenselliğin epistemolojisine de ışık tutar: Bir veri setindeki ilişki mutlaka daha derin bir yapıya işaret etmez ve matematiksel istatistik, bu tür yanıltıcı çağrışımları önlemeye yardımcı olur.
Matematiksel Yanılgılar ve Sezgisel Hatalar
Ellenberg’in kitabı, sezgisel olarak doğruymuş gibi görünen fakat aldatıcı olabilecek pek çok matematiksel yanılsamayı gösterir. Bunlar genellikle istatistik veya olasılık bilgisinin eksikliğinden kaynaklanan paradokslardır. Örneğin Nasıl Hata Yapmazsınız’ta anlatılan ünlü “ölü somon” deneyi, küçük bir örneklemle yapılan yanlış istatistiksel test sonucunda anlamsız bir sonucun nasıl “istatistikî olarak anlamlı” sayılabileceğini dramatik biçimde gösterir. Bu, tesadüfi korelasyonların tehlikesini vurgular.
Başka bir örnek, Anscombe Dörtlüsü’dür (Anscombe’s Quartet). Bu veri setleri, ortalama, varyans, korelasyon gibi temel istatistiklerin tamamen aynı olmasına rağmen grafiğe döküldüklerinde birbirinden çok farklı davranışlar sergiler. Bu örnek, sayısal hesaplamaların tek başına gerçek durumu yansıtmadığına işaret eder. Ellenberg de benzer şekilde, insanların sayılara körü körüne güvenmemesi gerektiğini vurgular. Sayılar çarpıtılabilir, grafikler yanıltıcı olabilir. Sergi’nin blogunda belirtildiği gibi, “veri analizinde farklı değişkenleri, farklı hipotezleri, farklı araç ve yaklaşımları göz önünde bulundurmak” gereklidir; aksi halde sayılar bize yanıltıcı bir sahne sunar. Örneğin Anscombe Dörtlüsü’nde dört veri setinin ortalama, varyans, korelasyon katsayısı vb. istatistikleri hemen hemen aynıdır, fakat grafikler çok farklı şekiller verir. Bu durum, sayısal sonuçları her zaman gerçeğin aynası olarak görmenin yanılgısını ortaya koyar.
Simpson paradoksu da bu bölümde tartışmaya değerdir. Bir grup alt örneklemde açıkça görülen bir eğilimin toplandığında tersine dönebilmesi olgusudur. Ellenberg Simpson paradoksuna çeşitli toplumsal istatistiklerde rastlanan örneklerle dikkat çeker. Örneğin bir üniversitede kadın başvuranların daha az kabul edildiği gözlenirken, fakülte bazında veriler ayrıştırıldığında tam tersine kadınların lehine bir tercih dengesi ortaya çıkabilmektedir. Sergi blogunda belirtildiği gibi, Simpson paradoksunda “veri gruplandığında ortaya çıkan trend, gruplar birleştirildiğinde kaybolur veya tersine döner”. Bu durum, matematiksel akıl yürütmenin önemini bir kez daha gösterir: Toplu veriye bakarak verilen sonucu her zaman olduğu gibi yorumlamak, gruplama değişkenlerinin etkisini göz ardı etmektir. Matematik, bu gibi paradoksları çözmek için istatistiksel modelleme ve mantıksal çözümleme yöntemleri sunar.
Daha genel olarak, sezgisel hataların kökeninde yatan bilişsel süreçler de önemlidir. Kahneman’ın yazdığı gibi, insan zihni sınırlı ve seçici bir gözlemler kümesine dayanarak karar verir; “bilinen bildiklere” yoğunlaşır, şans faktörünü genellikle görmezden gelir. Bu yaklaşım, büyük ünlü matematikçi Marcel Berger’in de vurguladığı gibi, “rasyonel düşünme ile sezgi” arasındaki çatışmayı yansıtır. Ellenberg’in kitabı, bu çatışmayı azaltmayı hedefler: Duygularımız veya önceden inanmış olduklarımız yerine somut matematiksel argümanlara dayanmaya davet eder. Bu yönüyle kitap, felsefi olarak zekânın zaaflarını tanımlayan epistemolojik bir tartışmayı da ima eder.
Gündelik Hayatta Matematiğin Gücü
Ellenberg’in temel argümanı, matematiksel düşüncenin günlük hayatta bizi yanılmaktan koruyacağı yönündedir. Özellikle modern toplumda bilgi seli içinden geçerken istatistiksel okuryazarlık çok önemli hale gelmiştir. Eliana Ibrahimi (2024), bilgi karmaşasında istatistiksel okuryazarlığın “sayısal veriler ve istatistiklerle dolu dünyamızda bilgilerin doğruluğunu eleştirel bir biçimde değerlendirmemizi sağladığını” vurgular. H. G. Wells’in dediği gibi, “İstatistiksel düşünce bir gün verimli yurttaşlık için okumak ve yazmak kadar gerekli olacak”. Ellenberg’in kitabı da bu anlayışı yansıtır. Örneğin politika haberlerini, ekonomik göstergeleri veya sağlık verilerini yorumlarken matematiksel perspektif kullanmak, yanıltıcı çıkarımlardan kaçınmaya yardımcı olur. Bir araştırma, istatistik eğitiminin “gündelik doğaçlama probleme yönelik istatistiksel akıl yürütmeyi hem sıklık hem de kalite açısından artırdığını” göstermiştir; yani eğitim, insanların günlük olayları daha doğru analiz etmesine katkı sağlar.
Gündelik örneklere bakıldığında, nüfusun büyük olması nedeniyle olağanüstü olayların sıkça ortaya çıkması da görülür. Bu bağlamda Ellenberg, rastlantısallığın gücüne dikkat çeker. Büyük sayılar kanunu, büyük gruplarda sıra dışı olayların gerçekleşmesini bekler; bu da çoğu zaman mucize gibi görünen durumların aslında istatistiksel normal olarak yorumlanması gerektiğini gösterir. Örneğin trafik kazalarında yüksek hızlı aşırı olayların ardından basit kontrolün kazaların azalmasında etkin olduğunu düşünmek bazen yanıltıcıdır: Kazaların azalması sadece regresyon olgusundan kaynaklanıyor olabilir. İnsanlar bu tür örneklerde çoğu zaman doğrudan nedensellik kurar, oysa gerçek neden karmaşıktır. Ellenberg’in yaklaşımı, matematiksel modellemeye dayanarak bu tür analizleri düzeltmektir.
Ekonomik kararlar da bir matematik çerçevesinde ele alınabilir. Ellenberg yatırım ve ekonomi örnekleriyle gösterir ki, birisi “çeyrek dolar kaybetti” diye bir hisseyi hemen elden çıkarırsa, bu tutum aslında kumarbaz yanılgısının bir uzantısıdır. Çünkü bağımsız oturumlarda bir hisse senedinin artıp azalması geleceği otomatik etkilemez. Benzer şekilde, halk sağlığı kampanyalarında başarısız görülen bir girişimden sonra matematiksel olmayan nedenlerle panik yapmak yerine, gerçek etkileri anlamak için regresyon, korelasyon ve şans faktörünü göz önüne almak gerekir.
Matematiksel düşünmenin güçlendirici bir yönü de günlük olaylarda verilerin ardındaki mantığı görebilme yetisidir. Ellenberg, günlük yaşamdan pek çok anekdotla bunu gösterir: Bir kilonun üzerinde domuz eti hesaplamasının yakıt tüketimine etkisi veya nüfus tahminindeki lineer olmayan gelişmeler gibi sıradan örneklerle, matematiğin soyut formüllerden değil gerçek sorunlardan kaynaklandığını anlatır. Bu bağlamda bu eser, sadece sayıları öğrenmek değil, matematiksel bakış açısını günlük dile çevirmeyi öğretir.
Sonuç olarak, Nasıl Hata Yapmazsınız hem bir matematik kitabı hem de bir akıl yürütme rehberidir. Kitabın katkısı, matematiği kapalı bir alan olmaktan çıkarıp herkese faydalı bir araç haline getirmesindedir. İstatistiksel akıl yürütme ve olasılık teorisi ile ilgili yanlış varsayımları düzeltir, regresyonu hatırlatır, sezgisel yanılgılara dikkat çeker ve bize matematiksel düşüncenin gücünü hatırlatır. Bu güç, hem bireysel hem toplumsal düzeyde bilinçli kararlar almaya olanak sağlar.
Sonuç
Jordan Ellenberg’in Nasıl Hata Yapmazsınız: Matematiksel Düşüncenin Gücü adlı eseri, matematiği günlük akıl yürütmemize uyarlayarak yanılsamalardan kaçınmanın yollarını gösterir. Kuramsal düzeyde felsefi bir arka plan sunarak matematiksel modelleme ve istatistik ilkelerinin normatif doğasını vurgular, bilişsel açıdan da sezgisel yanılgıların altını çizer. İstatistiksel akıl yürütmenin temel ilkelerini öğretirken, olasılık ve regresyon gibi kavramlarla bizi aldatabilecek tuzaklara karşı uyarır. Kitabın ana mesajı, “Matematik, sağduyuyu genişleterek yanlış yapma olasılığını azaltan güçlü bir araçtır” şeklinde özetlenebilir. Gerçekten de, Bill Gates gibi okurları da etkileyen bu eser, matematiği bir bilim dalı olmanın ötesine taşıyarak, günlük hayatın her alanında karşılaştığımız karar problemlerine bilimsel bir bakış getirir.
Bilimsel kaynaklarla desteklenen analizimizde görüldüğü üzere, matematiksel düşünme sadece deneysel bilimlerin değil, insan zihninin sınırlarını da genişletir. İster halk sağlığı kararları, ister finansal yatırımlar, isterse sıradan bir günlük olgu olsun; bilinçli bir okuryazarlık için istatistik ve olasılık bilgisi gereklidir. Bu çerçevede Ellenberg’in kitabı, matematiğin gücünü göstermesi bakımından günümüz dünyasında temel bir rehber niteliğindedir.
Leave a Comment