Ian Stewart’ın How to Cut a Cake: And Other Mathematical Conundrums Kitabına Dayalı Matematiksel Paradokslar ve Uygulamaları

Kitabın Adı:

Dünyayı Değiştiren 17 Denklem 

Yazar             :

Ian Stewart

Çevirmen:

Mehmet Kur  

Sayfa:

384 

Cilt:

Ciltsiz 

Boyut:

13,5 X 21 

Son Baskı:

01 Şubat, 2025 

İlk Baskı:

01 Şubat, 2025 

Barkod:

9786253891992 

Kapak Tsr.:

Füsun Turcan Elmasoğlu  

Editör:

Kerem Cankoçak  

Kapak Türü:

Karton 

Yayın Dili:

Türkçe  

Orijinal Dili:

İngilizce 

Orijinal Adı:

In Pursuit of the Unknown: 17 Equations That Changed the World

Ian Stewart’ın How to Cut a Cake: And Other Mathematical Conundrums Kitabına Dayalı Matematiksel Paradokslar ve Uygulamaları

Ian Stewart’ın How to Cut a Cake: And Other Mathematical Conundrums (Türkçe çevirisi Pasta Nasıl Kesilir? ve Diğer Matematiksel Bilmeceler) adlı kitabı, sıradışı matematiksel bilmecelerle dolu bir derlemedir. Her bölümünde adil bölme, olasılık yanılsamaları, topoloji, mantık, kombinatorik ve simetri gibi konular mizahi bir dille tanıtılır. Kitapta “sonsuz satranç oyunları”, “aydaki imparatorluklar”, “ateş böceklerinin çılgınca yanıp sönmesi” ve tabii ki “pastanın en iyi nasıl kesileceği” gibi başlıklarla okuyucu şaşırtılır. Matematika yazarı Underwood Dudley de kitabın arka kapağında Stewart’ın Martin Gardner geleneğini sürdüren bir eğlenceli matematikçi olduğunu vurgular. Kitabın içerdiği yirmi bölüm, Stewart’ın 1987–2001 arasında Scientific American için yazdığı yazılardan derlenmiş, ancak okuyucuya sade ve anlaşılır bir dille sunulmuştur. Aşağıdaki bölümlerde, bu bölümlerde ele alınan başlıca matematiksel yapılar ve analiz yöntemleri ele alınacak; ardından gerçek hayatta uygulamaları ve eğitimdeki rolü tartışılacaktır.

Matematiksel Yapı ve Analizler

Stewart’ın kitabında ele alınan başlıca matematiksel konular şunlardır:

• Paradokslar ve Olasılık: Kitap, günlük sezgileri altüst eden pek çok paradoksla doludur. Örneğin Repealing the Law of Averages (Ortalamanın Yasasını Kaldırmak) başlığı altında kumarbaz yanılgısı ele alınır. Gambler’ın yanılgısı, ardışık bağımsız olasılık olayları için “sonuçların dengesi kurulacak” gibi yanlış bir inanca işaret eder. Bu durum, “bağımsız ve özdeş dağıtımlı bir olay beklenenden daha az gerçekleştiyse, şimdi daha sık gerçekleşmesi muhtemeldir” yanılgısını ifade eder. Kitapta, bir yazı atışının veya zar atışının önceki sonuçlarının gelecek sonucu etkilemediği vurgulanır (hatta %50/50 ihtimal sabittir), böylece uzun vadeli başarımların bireysel atışlarla ilişkisinin yanlış olduğu gösterilir. Ayrıca “Sürpriz Sınav” gibi klasik paradokslar ve diğer beklenmedik sonuçlar da esprili biçimde incelenir.
• Adaletli Bölme ve Oyun Teorisi: Başlıkta da görüldüğü gibi adil bölme problemleri (özellikle pasta kesme) kitabın temel konularındandır. Stewart, iki kişi arasında “kes-böl” yöntemiyle yapılan kesimin (biri keser, diğeri seçer) herkesin ½ pay aldığı adil yöntem olduğunu hatırlatır. Ancak “Your Half’s Bigger Than My Half!” ve “Division Without Envy” bölümlerinde çoklu kişi için adil bölme sorununa odaklanılır. Buna göre, her katılımcı kendi değerlendirmesine göre pastanın en az 1/n kadarını alacak şekilde bölme yapılabilir (proportionality) ve idealde hiç kimse başkasının payını istememelidir (envy-freeness). Örneğin Banach–Knaster yöntemi (“Last Diminisher”), üç kişi için uygulanacak şekilde her seferinde birinin parça kesip diğerlerinin küçültebildiği bir prosedür sunar. Bu yöntemle her oyuncu kendince 1/3 pay garantiler; ancak son oyuncular hariç diğerleri, daha sonra daha büyük parça alanlara karşı kıskançlık duyabilir. Kısacası, üçten fazla oyuncu olduğunda kıskançlıktan tamamen kaçınmak zordur, ancak en az herkes kendi görüşüne göre asgari payını alacak şekilde bölme mümkün olabilmektedir.
• Topolojik ve Geometrik Yapılar: Kitapta surfakoyunları ve alanlar da ön plana çıkar. Örneğin “Double Bubble, Toil and Trouble” bölümü, iki hacmi ayırırken yüzey alanının nasıl minimize edileceğini sorgular. Matematiksel ifadeyle, iki belirli hacmi içine alacak ve ayıracak en küçük yüzey alanı üç küresel parça içeren standart “çift köpük” şeklidir. Bu sonuç, 2002’de ispatlanan Çift-Köpük Teoremi’nde özetlenmiştir. Dolayısıyla iki sabun balonunun birleşmesiyle oluşan yapının, birbirine 120° açıyla bağlanan üç küresel yüzeyden ibaret olduğu görülebilir.

Topolojik yapılar: Şekil 1’de bir sabun kabarcığı örneği görülmektedir. Çift-köpük problemi uyarınca, iki hacmin ayıran minimum yüzey alanlı şekli üçer küresel yüzeyden oluşan simetrik bir konfigürasyondur. Kitaptaki başka bir bölüm olan “Why Phone Cords Get Tangled” ise düğümlenme kuramıyla ilgilidir. Telefon kablolarını bükmek twist (burulma) ve writhe (dolanıklık) kavramlarını tanıtır. Kablonun burulması azaldıkça, matematiksel olarak writhe değeri artar ve kablo kendini bir düğüm halinde toplar. Stewart, bu mantığın DNA süperbobinlenmesiyle aynı olduğunu gösterir: DNA da kendi ekseninde büküldüğünde yazı-sarma etkisiyle küçük düğümlere dönüşür. Benzer şekilde, “Sierpinski’s Ubiquitous Gasket” gibi bölümler fraktal ve simetrik desenleri (ör. Sierpinski üçgeni) ele alır.

• Mantık, Kombinatorik ve Oyun Kuramı: Stewart’ın zorlama dolandırıcılık gibi bilgisayar bilimlerine dair konseptleri anlattığı “Sıfır Bilgi Protokolleri” bölümü mantık ağırlıklıdır. Ayrıca kart karıştırma (resurrection shuffle), düğümlü hatlar (brick factory) ve çeşitli kombinatorik diziler kitapta başka örnekler olarak sunulur. Dudley’ye göre şaşırtıcı bir şekilde Tower of Hanoi, Sierpinski üçgeni ve Pascal üçgeni arasında bağlantılar kuran bölümler de vardır. Bu konularla, okuyucunun problem çözme stratejileri ve kombinatoryal düşünme becerisi kışkırtılır.
• Sonsuzluk ve Simetri: Stewart, “Asla Bitmeyen Satranç Oyunu” bölümüyle yarışma kuralı olmayınca satranç oyunlarının sonsuza kadar sürebileceğini gösterir. Bu bağlamda bir satranç oyununun her üç tekrarında aynı hamle dizisi tekrar ederse maçın berabere ilan edileceği durum incelenir. Bilgisayar analizlerine göre, bu tür tekrar kuralı olmaksızın uygun bir hamle dizisi sonsuz döngü yaratabilir. Gerçekten, matematiksel açıdan sonsuzluk özellikli satranç dizileri mevcuttur; yani oyunun kuralları kaldırılırsa bitmeyen oyunlar örneklenebilir. Ayrıca kitaptaki “Easter Is a Quasicrystal” gibi bulmacalar, Pascal üçgeni veya modüler döngüler yoluyla dönme simetrisini ve tekrarlayan desenleri irdeler. Bu sayede Stewart, basit görünümlü bilmeceler aracılığıyla sayı teorisi ve uzaysal simetri gibi derin konuları sezgisel biçimde ele alır.

Uygulamalar

Stewart’ın ele aldığı konuların pek çoğunun gerçek dünyada da karşılığı vardır. Örneğin topolojik analizle telefon kablosu ve DNA arasında bağlantı kurulmuştur. Kablonun burulması sonucu kendi üzerine sarılması, DNA’nın hücre içinde burulunca “süperbobin” hâlinde çökmesiyle aynıdır. Yine, çift sabun köpüğünün şekli, fiziksel laboratuvarlarda gözlemlenen asgari yüzey ilkesiyle birebir örtüşür. Adaletli bölme problemleri ise miras paylaşımı, kaynak tahsisi veya oy dağılımı gibi ekonomik ve toplumsal durumlarda pratik uygulama bulur. Oyun kuramı çerçevesinde, herkesin kendini tatmin etmiş hissettiği bölme yöntemleri siyaset bilimi ve stratejide de önem taşır. Bu bağlamda Stewart’ın bulmacaları, soyut matematiksel kavramların günlük hayattaki yansımalarını gösterir.

Eleştirel Değerlendirme

Kitaptaki eğlenceli matematiksel anlatı tarzı, problem çözme becerilerini ve matematiksel ilgiyi artırma potansiyeli taşır. Araştırmalar, matematiksel bulmacaların öğrencilerin eleştirel düşünme, mantıksal çıkarım ve uzamsal görselleştirme becerilerini geliştirdiğini göstermektedir. José Figueroa’nın çalışmasına göre oyun ve bulmaca çözümü, matematiğe yaklaşırken aynı zihinsel stratejileri etkinleştirir ve “iyi bir oyun veya bulmaca çözmek, matematik yapmakla hemen hemen aynıdır”blogs.mat.ucm.es. Gerçekten Stewart’ın kitabı, teknik formüller yerine hikâye ve ilüstrasyonlarla matematiğe giriş olanağı sunar. Stewart’ın da belirttiği gibi, popüler matematik tam da bu nedenle değerlidir: Okul matematiği sınav odaklı kalırken, popüler matematik*–*teknik detaylara boğulmadan–matematiğin insan kültüründeki yerini, tarihini ve uygulama alanlarını gözler önüne serer.

Bununla birlikte bazı eleştirmenler, bulmaca tarzının derin kavramlar yerine şaşırtıcılığa odaklandığını söyleyebilir. Ancak Dudley gibi inceleyenler Stewart’ın yazımını açık ve çekici bulur. Kitap, konuları teknik terimler olmadan sunsa da her bölüm sonunda okura matematiksel kavramları anlama imkânı tanır. Sonuçta Stewart, matematiğin merak uyandıran, problem odaklı yönünü ön plana çıkararak problem çözme yeteneklerini pekiştiren bir içerik sunar.

Sonuç

Ian Stewart’ın How to Cut a Cake kitabı, matematiksel bilmeceleri bir araya getirerek hem derin kavramları hem de sezgisel yaklaşımları ustaca harmanlar. Kitap, adaletli bölme, paradokslar, olasılık, topolojik şekiller, kombinatorik ve simetri gibi çok sayıda konuyu popüler bir dilde ele alır. Kaynaklar, bulmacaların matematiksel düşünmeyi canlandırdığını ve problem çözme becerilerini geliştirdiğini göstermektedir. Popüler matematik ise, Stewart’ın da ifade ettiği gibi, çok sayıda insanı matematiğe çekme ve onun günlük hayattaki yerini göstermede etkili bir araçtır. Kitap, hem eğlenceli öyküler hem de sağlam matematiksel içerikler sunarak bu alanda başarılı bir örnek teşkil etmektedir.

Kaynakça: 

Stewart (2006) How to Cut a Cake: and Other Mathematical Conundrums. Oxford University Press. Dudley, U., MAA Review of How to Cut a Cake (2007). 

NRICH (Cambridge) How to Cut a Cake: and Other Mathematical Conundrums tanıtımı. 

Will Stavely, “Why do phone cords get tangled?”, AMSI RHED (2015) 

“Gambler’s fallacy”, Wikipedia. 

“Double bubble theorem”, Wikipedia.

 EJMSTE, “Puzzles as a Didactic Tool…” (2019).

 Figueroa, J. Games and puzzles in the popularization of mathematicsblogs.mat.ucm.es. The Guardian, Ian Stewart röportajı (2012). 

Bas van Fraassen, Coinductive definition, an example (felsefe blogu).